广播、扩散与传染

一个数,决定一场疫情

三个分舱 —— 易感者、感染者、康复者 —— 加两个速率、再加一点算术。
整场疫情的形状,只由一个数字决定:R₀。

来认识你的人口。每张脸代表一个人。每个人起初都是 🙂 易感者。 有一位勇士是🤢 感染者 —— 零号病人。康复后,他就变成 😎 免疫者, 不会再次感染。只扭动一个旋钮,看会发生什么。

群体免疫,一张图说清

当人群中足够多的人获得免疫(康复或接种),每位感染者平均接触到的易感者就少于一个。 传播链断裂。神奇阈值是 1 − 1/R₀:

• 流感(R₀ ≈ 1.3):约需 23% 具免疫力
• 新冠原始毒株(R₀ ≈ 2.5):约 60%
• 天花(R₀ ≈ 5):约 80%
• 麻疹(R₀ ≈ 15):约 93% —— 这就是 WHO 要求 95% 覆盖率的原因

时间序列与峰值

教科书式的经典图:S 下降,I 升到峰值,R 爬到最终感染率。各种干预能 压平曲线 —— 降低峰值、为医院争取时间 —— 但不一定会减少 总感染人数。

相关模型

• 🕸️ 网络 — 传染不发生在真空里;谁和谁相连会重塑 R₀ 和最终感染率。
• 🚶 随机漫步 — 平滑的 S/I/R 曲线之下,是离散的个体动力学。
• 🌐 马尔可夫链 — 把每个人看作状态机(S → I → R),整个系统就变成一个分舱式马尔可夫模型。