不确定性与动力学

站在马路中间的醉汉

站在数轴的 0 点上。抛一枚硬币。正面右走一步,反面左走一步。无限重复。
关于随机性最深刻的一半教训,都藏在这个游戏里。

一个漫步者 · 看着抛币人走

抛币次数

当前位置

到过的最远

看久一点你会注意到:你会漂走,但漂得很慢。 抛币 100 次之后,你一般离起点约 10。抛 10,000 次之后,一般约 100。距离按时间的平方根增长。不是线性,也不是指数。很慢。

现在让一百个漫步者赛跑

下方,一百个漫步者都从中线出发,各自抛各自的硬币。阴影区是 ±√t — 在时刻 t 时一个典型漫步者大致所在的位置。看看这群人如何乖乖落在带内。

100 个漫步者与 √t 包络

时间步

实证标准差

理论 √t = 0

“趋势”的错觉。其中一些漫步者整段路程都停留在水平线上方 — 看起来好像有动能、有连胜、有“手感发烫”。他们没有。他们只是抛币。你能想到的每种“趋势”,这个过程都能偶然制造出来。现在想象有人只给你看其中一条路径, 请你解释一下。你一定会编出一个故事。

下面这个事实反直觉到让人觉得它一定是错的。一维漫步者会以 概率 1 回到零点。每一条随机漫步最终都会回家。但平均的回家时间 是无穷大。两条都是真的。来看。

首次回归时间 · 点一下“模拟”

回归时间中位数

—

典型路径

第 99 百分位

—

缓慢的长尾

实证均值

—

理论:∞

注意谁才是主角:一半的路径恰好在两步之内回家。但第 99 百分位可以到几千步。两件事其实在描述同一个分布 —— 这个分布你无法用“平均值”概括。均值未定义; 只有中位数才是一个公允的数字。

赌徒破产问题。一个在公平赌局中的赌徒保证最终会打平 —— 这是一条真的定理。但他只有有限的钱和有限的寿命。在“现在”和“最终”之间, 这个漫步会访问每一个负数。面对一个无限富有的赌场,他以概率 1 破产。 “总有一天会回来”在数学上为真,在财务上毫无用处。

现在把同样的抛币游戏搬到更高维度:每一步,随机选一个坐标轴,沿它 ±1 走。漫步者还能回家吗?

Pólya(1921)证明了:在 1 维和 2 维,是,以概率 1 回家。在 3 维及更高,不。角谷静夫(Kakutani)总结得妙:“醉汉总能找到回家的路,但醉鸟可能永远迷失。”

Pólya 定理的微缩版

柱 = 500 次漫步(每条 5,000 步)中回到原点的比例。菱形 = 理论上的最终回归概率。2 维技术上是 100%,但增长极其缓慢(以 1/log t 收敛), 所以有限预算下会被低估。

问:在两个玩家之间的公平抛币游戏中,一个玩家“领先”的时间占多少? 直觉说 ½。概率论的答案是:极端比中间要常见得多。在真正平衡的游戏里,其中一方往往几乎全程领先。

公平的漫步看起来却像一边倒

x 轴:每位漫步者位于零点上方的时间比例。按直觉“领先 50/50”推理,这里应该集中在中间。但并没有。它集中在两端。

读新闻的眼镜。“某队全场碾压”——这正是公平、均衡的较量大多数时候看起来的样子。共同基金的连胜、销售连胜、公司的常胜,道理都一样。随机漫步能凭空产生“统治”式的叙事, 底下并没有真正的统治。