分布

钟形曲线是从哪儿来的?

现场看着它浮现 —— 起点愚蠢得只是“一颗小球在钉子上弹来弹去”。

下方是一块 高尔顿钉板:一个三角形的钉阵,底部有一排桶。每颗球下落时会做 n 次微型的抛币:每行向左或向右。它最终落入的桶号,等于一路上“向右”的次数。扔一百颗,看看堆成什么形状。

高尔顿钉板 · 一条钟形曲线把自己堆出来

钉子行数 · n12

落下的球数

落在中间桶的比例

—

钟形的众数

🔵 蓝色 = 桶里堆着的球 · 红色曲线 = 中心极限定理预测的正态分布 N(n/2, √(n/4))。扔几百颗之后,蓝堆应当贴着红线。

试试 n = 4。每颗球只抛 4 次币 —— 所以只有 5 个可能的桶。堆明显是离散的, 但已经隐约有点钟形。把 n 推到 18。每颗球变成一个小型统计过程,堆就变得平滑成一条标准的钟形。这个从“颤巍巍”到“钟形”的过渡,就是中心极限定理。

它适用于一切,不只是硬币

魔法不在抛币上。只要你把许多独立的小随机量加起来 —— 不管它们各自长什么样 —— 总和近似正态。下面随便挑一个源分布(甚至是偏斜的),把 n 次抽样取平均。每次都是钟形。

任意源头 · 输出钟形

源分布 n · 每个样本均值的抽样数30

实证均值

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实证标准差

—

理论 σ/√n

🔵 蓝 = 原始源分布 · 🟠 橙 = 样本均值的分布 · 红 = 中心极限定理预测的正态

试试 n = 1。橙色直方图就是源分布。再把 n 推上去。看看它多快(对对数正态来说多慢)就对称化成一条钟形。

钟形不仅会浮现,还会收紧。把 n 翻倍,宽度只缩小 √2 倍。这就是为什么把样本量乘以 4 才会把标准误差减半,而不是乘以 2。

实证标准差 vs 样本量 · 双对数坐标

如果 √n 规则成立,双对数图的斜率应该是 −½。横轴每向右一格 = 样本量 ×4 = 误差 ×½。

小规模学校的悖论。美国一度有一项著名的教育倡议拨款把大校拆成小校, 理由是小校常常出现在考试成绩的前列。但小校也常常出现在后列 —— 出于同一个统计学原因。n 小时 σ/√n 更大。两端都更极端。信号不是学校的质量;信号就是样本量。